Филозов родился 25 июня 1937 года в Свердловске (ныне Екатеринбург).В 1955 году выездной комиссией Филозов был принят в Школу-студию МХАТ на курс актера и режиссера Виктора Станицына, которую окончил в 1959 году. На курсе вместе с Филозовым учились будущие знаменитые актеры театра и кино: Анатолий Ромашин, Вячеслав Невинный, Алла Покровская, Александр Лазарев, Татьяна Лаврова.С 1959 по 1960 год Альберт Филозов работал в Московском драматическом театре им. К.С. Станиславского, в 1960 - 1961 годах – в Театре имени Ермоловой.В 1961-1963 годах актер проходил срочную службу в рядах Вооруженных сил СССР – сначала в саперном батальоне, затем командовал военным оркестром в Рязанском училище связи (ныне Рязанское Высшее Военное Командное Училище Связи).В 1963 году Филозов вернулся в Московский драматический театр имени К.С. Станиславского, в котором работал до 1989 года. С 1989 года Филозов работает в труппе театра «Школа современной пьесы», основанного им совместно с режиссером Иосифом Райхельгаузом и актрисой Любовью Полищук. Первой значительной ролью в кино стал ученый Ростислав Савельев в фильме «Вид на жительство» (1972). В последующие годы Филозов снялся в лирической комедии «Тихоня» (1973), телефильме «Великий укротитель» (1974), детективе «Страх высоты» (1975) и других лентах.Артист долгое время имел амплуа невзрачного тихони, которое было воплощено в фильмах «Вам и не снилось...» (1980), «Мэри Поппинс, до свидания!» (1983) и других. Также после роли нациста Шернера в картине «Тегеран-43» (1980) за Филозовым закрепилось амплуа шпиона и негодяя.В 2000-х годах зрителям запомнились роли Филозова в сериалах «Пятый ангел» (2003) и «Бедная Настя» (2003-2004), исторической драме «Печорин. Герой нашего времени» (2006), многосерийном фильме «В круге первом» (2006), фильме «Без вины виноватые» по пьесе Островского (2008), сериале «Энигма» (2010) и других. Всего в кино им было сыграно более 120 ролей.В 1994 году Филозов был удостоен звания Народный артист России.