Один из лучших вратарей СССР 1960-х годов. Президент Всероссийской федерации ассоциации футбола.
Родился 19 июля 1940 г. в городе Батуми (Грузия).
С 1957 по 1959 гг. футболист выступал за ФК «Динамо» из Тбилиси, а в 1960 г. играл за ФК «Зенит» из Ленинграда.
С 1960 по 1968 гг. Кавазашвили выступал за ФК «Торпедо» из Москвы, а с 1969 по 1971 гг. в ФК «Спартак» из Москвы. В 1972 г. Кавазашвили перешел в ФК «Торпедо» из Кутаиси, а сезон в 1974 г. отыграл за ФК «Спартак» из Костромы. В 1980 г. Анзор вошел в учрежденный символический футбольный клуб Льва Яшина.
В чемпионатах СССР футболист отыграл 274 матча, а в еврокубках – 15. Также Кавазашвили занимал ответственные посты в Госкомспорте России и в Федерации футбола РСФСР.
Свою первую игру за национальную сборную СССР Анзор сыграл 27 июня в 1965 г. На ЧМ в 1966 г. был дублером Яшина. Всего за национальную сборную пропустил 19 голов и отыграл 29 матчей. Последнюю игру за сборную СССР сыграл 14 июня в 1970 г.
Дважды был лучшим вратарем страны, а также в 1967 г. стал заслуженным мастером спорта СССР.
Также Кавазашвили тренировал ФК «Спартак» (Кострома) и такие сборные как Чад, юношескую сборную РСФСР и Гвинеи.